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Nachhilfe Bonn Mathe,

Textaufgaben

Mit dem Fahrrad von Troisdorf nach Siegburg

Textaufgaben stellen ein häufig auftretendes Problem dar. Das Fehlerbild ist hier oft differenziert:

Zum einen ist oft eine hohe Korrelation zum mangelnden Leseverständnis bei Schülern feststellbar. Leseverständnis geht mit Häufigkeit, Menge und Qualität gelesener Bücher parallel. Die Kinder, die wenig bis gar nicht lesen haben häufiger Schwierigkeiten mit Textaufgaben.

Der zweite Punkt ist an der Stelle zu finden, daß eben nicht mehr *Türmchen* Aufgaben nach dem gleichen Schema gerechnet werden sollen. 
Wie jetzt? Ich soll mir meine Aufgabe erst zusammensuchen und nachdenken, was die von mir wollen? Vielleicht soll ich sogar am Ende noch darüber nachdenken, ob das Ergebnis überhaupt sinnvoll sein kann? Frechheit! Das ist doch nicht Mathe!

Diesen Schülern kann in der Nachhilfe recht gut geholfen werden. Schon die Rheinische Universalfrage "wat soll dä Quatsch?" bzw. deren Beantwortung kann wahre Wunder bewirken: Welches Thema haben wir gerade in der Schule behandelt? Welche Grundproblematik wurde dort angesprochen? 

Versuchen wir es mit einem Beispiel dazu, wie es in der 6. oder 7. Klasse gestellt sein könnte. Das Thema ist im Bereich der Anwendungen des Dreisatz angesiedelt. Weil unser findiger Mathelehrer gern das aktuelle Thema mit früheren kombiniert, haben wir uns noch einmal mit dem Umrechnen von Einheiten beschäftigt. Zeiteinheiten sind ziemlich beliebt.

Peter aus Troisdorf fährt regelmäßig mit dem Fahrrad zu seiner Freundin in Siegburg. Für die 6,5 km braucht er etwa 20 Minuten.

An der Hochschule in Sankt Augustin findet eine Informationsveranstaltung statt, wo Peter ebenfalls mit dem Fahrrad hinfährt. Die einfache Entfernung sind 9,3 Kilometer. Wann muss Peter losfahren, wenn die Veranstaltung um 18:00 Uhr beginnt?

Im ersten Schritt berechnen wir Peters Duchschnittsgeschwindigkeit. Die Geschwindigkeit wird in km/h (Kilometer pro Stunde) angegeben. Es wird die Frage gestellt, wie viele Kilometer in einer Stunde gefahren werden. Eine Stunde sind 60 Minuten. Also lautet unser erster Ansatz:

6,5 km => 20 min (Information aus der Aufgabe)

x    km => 60 min (Frage nach der Entfernung einer ganzen Stunde)

 

x = 6,5*60/20

Die 60/20 werden wir vor dem Multiplizieren kürzen. Dadurch vereinfacht sich die Aufgabenstellung auf:

x = 6,5*3

Das können wir im Kopf; er fährt in einer Stunde 19,5 Kilometer.
Anders ausgedrückt beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit 19,5 km/h.

Im nächsten Schritt berechnen wir, wie lange Peter braucht, um die 9,3 Kilometer bis nach Sankt Augustin zu fahren. Dabei unterstellen wir, daß er mit der gleichen Durchschnittsgeschwindigkeit unterwegs ist.

19,5 km => 1h

  9,3 km => x

x = 9,3*1/19,5 = 0,4769...

Schickt das doch mal durch den Taschenrechner.
Was für ein furchtbares Ergebnis. Das müssten wir auch noch abrunden und damit weiterrechnen. 
Eleganter wird es, wenn wir gleich in Minuten umrechnen:

19,5 km => 60 min

  9,3 km =>  x min

x = 9,3*60/19,5 = 28,615

Das Ergebnis ist nicht viel schöner. Allerdings sind das schon Minuten.

Damit können wir noch einmal nach der eigentlichen Frage schauen. Wann muss Peter losfahren, wenn die Veranstaltung um 18:00 Uhr beginnt? Theoretisch könnte man die 28,6 Minuten von 18:00 Uhr abziehen. Dabei kommen die lustigsten Fehler vor... 
Sicher kommt auch ein Blitzmerker auf die Idee, den armen Peter 20 Sekunden vor 17:31 Uhr loszuschicken, damit er eine Punktlandung macht.

Hier liegt dann auch der Schlüssel, wenn wie bei Textaufgaben üblich ein Antwortsatz formuliert wird: es darf nachgedacht werden. 17:31 ist der späteste Zeitpunkt zum Losfahren, weil Peter rund 29 Minuten braucht. Wenn er aus Gründen der Höflichkeit, weil er die Örtlichkeit nicht kennt oder weil noch mit einer roten Ampel rechnet ein paar Minuten extra einplant ist er auf der richtigen Seite.

Division von Brüchen

Division von Brüchen

Aus meiner Schulzeit erinnere ich mich an eine Definition: Brüche werden dividiert, indem man den Kehrwert multipliziert.
So einfach das klingt trifft es doch den Nagel auf den Kopf.

Im Gegensatz zur Multiplikation ist bei der Division die Reihenfolge ziemlich entscheidend. Am einfachsten schauen wir uns dafür wieder ein Beispiel an:

1/2 : 3/4

Der Kehrwert von 3/4 ist 4/3. Es werden einfach nur die Plätze von Zähler und Nenner vertauscht.

also heisst es: 1/2 : 3/4 = 1/2 * 4/3

Die jetzt entstandene Aufgabe können wir mit unserem Wissen über die Multiplikation von Brüchen gut bearbeiten.

1/2 * 4/3 = (1*4)/(2*3) = 4/6

Diese 4/6 sollten wir noch mit 2 kürzen. Lehrer mögen es nicht, wenn man ihnen die Brüche ungekürzt vor die Füße wirft.
Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl geteilt.

4/6 = (2*2)/(2*3) = 2/2 *2/3 =2/3

2/2 bzw. jeder Bruch a/a ist eine Sonderform. Eine Zahl, geteilt durch sich selber, ergibt immer 1. Eine 1 kann ich in jeden Term hineinmultiplizieren, wenn ich das möchte. Ich werde dabei den Wert der Zahl nicht verändern.
Genauso könnte ich auch eine Null addieren.
Durch das Ausklammern der 2 in Zähler und Nenner ergibt sich der Faktor 1, der genauso gut weggelassen werden kann. Das Ergebnis wird dadurch eleganter und nicht künstlich aufgebläht.

Multiplikation von Brüchen

Multiplikation von Brüchen

Die Multiplikation von Brüchen ist denkbar einfach: es werden die Zähler miteinander multipliziert und die Nenner ebenfalls.
Gegebenfalls kann vorher oder am Ende, das ist ziemlich egal, noch gekürzt werden.

Schauen wir uns eine Beispielrechnung an:

2/3 * 4/5 = (2*4) / (3*5) = 8/15

In diesem Beispiel müssen wir nicht mehr kürzen, da der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 8 und 15 die 1 ist.

Prozentrechnung

Anwendung: Kreuzprodukt bei der Prozentrechnung

Die Prozentrechnung ist eine Anwendung des Dreisatz.

Ein wichtiger Teil der Erkenntnis steckt schon im Wort: wer jemals Asterix gelesen hat, der weiß, daß ein Centurio der Anführer einer Hundertschaft Legionäre ist.
Alle anderen haben auch eine gute Chance: wir rechnen mit Euro und Cent. Dabei sind 100 Cent = 1,- €.
Im Begriff des Prozent ist, wenn auch mit anderer Schreibweise, schon irgend etwas mit Cent enthalten.
Des Rätsels Lösung liegt darin, daß ein Prozent gleich ein Hundertstel ist.

Als weitere Hürde kommen noch ein paar Begrifflichkeiten dazu: Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz jagen uns kalte Schauer über den Rücken. Da gibt es dann noch Formeln zum Auswendiglernen, hinter denen wir uns verstecken können. 

Wer faul sein will darf nicht dumm sein: die Formeln muss man nicht lernen, wenn man das System dahinter verstanden hat. Der Grundwert (G) ist immer 100%. Der Prozentwert (P) ist dem Prozentsatz (p%) zugeordnet.
Wieder können wir, wie schon beim allgemeinen Dreisatz, einen Ansatz aufstellen:

G   =>> 100%
P    =>>     p%

Schon ist das System sortiert: die Prozente stehen untereinander und die Werte (Grund- und Prozentwert) ebenfalls.
Das Kreuzprodukt hilft, eine gemeinsame Gleichung zu erstellen:

G * p% = P * 100%

Dividiere den Teil aus der Gleichung heraus, den Du nicht brauchst, berechne den Rest und fertig ist Dein Ergebnis.

Dreisatz

Der Dreisatz beschreibt eine Rechnungsart, die im Lauf der Mittelstufe häufiger vorkommt und für viele verschiedene Anwendungen gilt. Das Grundprinzip ist jedoch immer identisch. Daher werden wir uns dieses Prinzip anschauen und später einige Anwendungen besprechen.

Dahinter steht die oft gefundene Erkenntnis, daß wir in der Schule eine weitere Anwendung eines bekannten Prinzips gern als neuen Unterrichtsstoff behandeln.

Der erste Schritt dabei besteht immer darin, die gegebenen Informationen aufzubereiten und dafür einen Ansatz zu erstellen.
Dies wird in der Schule häufig mit einer Tabelle gemacht. In der Weiterführung können wir auch auf die Tabelle verzichten und alle Schritte rechnerisch ausführen.
Aber der Reihe nach.

Nehmen wir eine einfache Beispielaufgabe:
Ein Bauer verkauft Eier. Zehn Eier sollen 1,40 € kosten. Wieviel müssen wir bezahlen, wenn eine andere Anzahl Eier gekauft werden soll?

 Daraus folgt als Ansatz:

10 Eier      =>   1,40 €
20 Eier      =>    X     €

Als erstes fällt auf, daß die Informationen sortiert und mit einer Zuordnung versehen aufgeschrieben wurden. 
Auf der linken Seite steht die Anzahl der Eier; auf der anderen nur die jeweils zugeordneten Preise.
Hier fällt sofort auf, daß wir auf beiden Seiten mit 2 malnehmen können, um die Lösung zu bekommen.
Spannend wird es, wenn der Preis für 7 Eier bestimmt werden soll. Der Ansatz wird jetzt erweitert:

10 Eier      =>   1,40 €
  1 Ei         =>    ?      €
  7 Eier      =>    X     €

Von der ersten zur zweiten Zeile wird durch 10 geteilt, um den Preis für ein Ei zu bekommen. Von der zweiten zur dritten Zeile wird auf beiden Seiten mit 7 multipliziert.
Dieser Ansatz ist in der Tabellenform schön darstellbar. Damit kann sich auch derjenige, der kein Zahlenfuchs ist, ganz gut behelfen.

In der Weiterführung verzichten wir auf den Zwischenschritt. Der Ansatz bleibt aber der Gleiche. Wir verwenden das Kreuzprodukt. Das bedeutet, daß die Zahlen in den jeweils gegenüberliegenden Ecken miteinander malgenommen werden. Das sieht dann so aus:

10 Eier * X € = 7 Eier * 1,40 €

 Damit haben wir eine einfache Gleichung mit einer Unbekannten. Diese wird gelöst, indem wir die 10 Eier auf beiden Seiten der Gleichung herausdividieren.
Wenn wir hier immer schön die Einheiten mitnehmen, haben wir eine zusätzliche Kontrolle: Links bleiben nur Euros bei unserer Lösung übrig. Rechts kürzen sich die anderen beiden Einheiten (Eier) und es bleiben ebenfalls Euro übrig. Damit scheinen wir eine ganze Menge richtig gemacht zu haben.
Sollte hier ein komisches Ergebnis oder grundverschiedene Einheiten auftreten, solltest Du noch einmal genau auf den Ansatz schauen und den sortieren.

 

Bruchrechnen

Der sichere Umgang mit Brüchen gehört zu den größeren Herausforderungen, denen sich Schüler der Mittelstufe stellen müssen. Dabei sind nur einige wenige Grundregeln zu beachten.

Grundsätzlich treten Bruchzahlen als echter oder als gemischter Bruch auf.

Ein echter Bruch ist eine rationale Zahl, welche ein Quotient aus zwei ganzen Zahlen ist. Normalerweise ist dabei der Zähler kleiner als der Nenner. Die Zahl ist kleiner als 1.

Bei einem gemischten Bruch steht vor dem echten Bruch noch eine ganze Zahl. Dadurch wird der Gesamtwert der Zahl größer als 1.

Eine Sonderform ist der unechte Bruch, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist. Ein unechter Bruch kann relativ einfach in einen gemischten Bruch umgebaut werden und umgekehrt.

Addition von Brüchen

Ein Bruch besteht aus dem Zähler (die Zahl oben) und dem Nenner (na klar; die Zahl unter dem Bruchstrich). Dabei kann man den Nenner wie eine Art Einheit betrachten. 

Wenn ich zum Beispiel Äpfel zusammenzählen möchte, geht dies sehr leicht. 2 Äpfel plus 3 Äpfel sind 5 Äpfel. Sobald ich versuche, zu den Äpfeln noch Birnen oder Pflaumen zu addieren bekomme ich ein Problem im Ergebnis. 2 Äpfel + 3 Birnen + 1 Pflaume sind 6; aber was?
Jetzt müssen wir eine gemeinsame Einheit finden, die für alle Beteiligten gilt. In unserem Beispiel könnte die gemeinsame Einheit vielleicht *Stück Obst* lauten. 

Das ist bei unseren Brüchen dann aber ein klein wenig genauer. Wir werden die Vergleichbarkeit einer Zähleinheit erst erschaffen müssen. Dafür benötigen wir einen gemeinsamen Nenner. 
Dafür nehmen wir uns ein einfaches Beispiel: 1/2 +1/3 soll berechnet werden. Wir haben verschiedene Nenner, nämlich 2 und 3. Dies sind beides Primzahlen. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden lässt sich durch die Multiplikation 2*3=6 finden.
Der Hauptnenner ist die 6. Wir müssen also beide Brüche so erweitern, daß dieser Nenner erreicht wird. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. 1/2 erweitert mit 3 bringt uns auf 3/6. Das 1/3 wird mit 2 erweitert und damit zu 2/6. Unsere Beispielaufgabe 1/2 + 1/3 haben wir damit umgeformt zu 3/6 + 2/6. 
Jetzt haben wir eine gemeinsame Einheit erschaffen, beide Brüche stellen Sechstel dar. Die Aufgabe kann auf den Hauptnenner geschrieben werden, also (3+2)/6 und ergibt damit 5/6. 

Dieses Vorgehen ist bei Addition und Subtraktion von Brüchen immer identisch. Wir finden die gemeinsame Zählbarkeit, also den Hauptnenner. Oft ist dieser das Produkt der Nenner. Dann werden die Summanden so erweitert, daß der gemeinsame Nenner erreicht wird. Dadurch addieren wir die gleichen Dinge- und das ist problemlos möglich.

Ihre ABACUS-Institutsleiter in Bonn
Institutsleiter Harald und Silvia Sturm: Nachhilfe Bonn
Silvia Sturm &  Harald Sturm
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Als Institutsleiter und Eltern kennen wir die vielen unterschiedlichen schulischen Probleme aus der Praxis. Krankheitsbedingte Lernprobleme, Pubertät, fehlende Motivation und vieles andere mehr können die Ursache dafür sein, dass Nachhilfe vorübergehend notwendig wird. Um wirkungsvoll auf den einzelnen Schüler eingehen zu können, bieten wir deshalb häusliche Einzel-Nachhilfe in Bonn und Umgebung an. Wir sind der Überzeugung, dass gerade hierdurch die Nachhilfedauer entscheidend verkürzt und dem Schüler effektiver geholfen werden kann.